دانلود پایان نامه تابع متغير مختلط

47 صفحه WORD

فهرست مطالب

فصل 6. 5

ويژگيهاي تحليلي نگاشت.. 5

۶.۱جبر مختلط. 7

هميوغ مختلط. 9

تابعهاي متغيير مختلط. 13

خلاصه. 16

۶-۲   شرايط  کوشي _ريمان. 17

توابع تحليلي. 22

خلاصه. 22

۶-۳      قضيه ي انتگرال کوشي. 23

انتگرال هاي پربندي.. 23

اثبات قضيه ي انتگرال کوشي به کمک قضيه ي استوکس.. 25

نواحي همبند چند گانه. 27

فرمول انتگرال کوشي. 29

مشتقها 31

قضيه ي موره آ 32

خلاصه. 34

۶-۵    بسط لوران. 34

بسط تايلور. 34

اصل انعکاس شوارتز. 36

ادامه ي تحليلي. 37

سري لورن. 40

خلاصه. 43

۶-۶  نگاشت.. 44

انتقال. 45

چرخش.. 45

انعکاس.. 46

نقطه هاي شاخه و توابع چند مقدار. 48

خلاصه. 53

۶-۷            نگاشت همديس.. 53

خلاصه. 54

خلاصه فایل

تابعهاي متغير مختلط 1

ويژگيهاي تحليلي نگاشت

عددهاي موهومي پرواز شگفت انگيز روح خدايند.اين اعداد هويت دو گانه اي بين بودن ونبودن دارند.

گاترفيد ويلهلم فون لايب نيتس۱۷۰۲ميلادي

نظريه ي تابع ها از يک متغيير مختلط شامل برخي از قوي ترين و مفيد ترين وپر کاربرد ترين ابزارهاي تحليل رياضي است.براي انکه دست کم تا هدودي اهمييت متغير هاي مختلف را نمايش دهيم چند مبهث از کاربرد هاي انها را به اختصار بر مي شمريم .

۱.در مورد بسياري از زوج تابع هايu v ,همuوهم vدر معادله ي لاپلاس در دو بعد واقعي صدق ميکنند .

براي مثال يا vياu  را ميتوان براي توصيف پتانسيل الکتروستاتيکي دو بعدي به کار برد . آن گاه ميتوان از تابع ديگري براي توصيف ميدان الکتريکي  Eبهره گرفت  که يک دسته از منحني هاي عمود بر منحني هاي مربوط به تابع اوليه را ارائه مي کند  يک موقعيت مشابه براي هيدروديناميک از يک شاره ايده ال با حرکت غير چرخشي نيز وجود دارد تابع uبايد پتانسيل سرعت را توصيف کند در حالي که تابع  vتابع جريان خواهد بود.

درمواردبسياريکه تابع هاي  u,vمجهولند مي توانيم به ياري نگاشت يا تبديل در صفحه ي مختلط دستگاه مختصات مناسب با مسئله ي مورد نظر بسازيم .

٢.اعداد مختلط(در بخش ۱-۶) از زوج هاي اعداد حقيقي ساخته مي شوند بنابر اين حوزه ي اعداد حقيقي به طور طبيعي در حوزه ي اعداد مختلط جا سازي ميشوند. در اصطلاح هاي رياضي حوزه ي اعداد مختلط تعميمي از حوزه ي اعداد حقيقي است و بعداً در جهت هر چند جمله اي به ترتيب n (در حالت کلي )صفر مختلط کامل ميشود .

اين واقعيت ابتدا به وسيله ي گاوس اثبات شد و قضيه اصلي جبر ناميده شد (بخش ۶-۴و۷-٢ را ببينيد )  به صورت يک نتيجه تابع هاي حقيقي سري حقيقي بي نهايت و انتگرال ها معمولا ميتوانند به طور طبيعي به اعداد مختلط ساده به وسيله ي نشاندن يک متغير حقيقي x براي مثال به جاي مختلط z تعميم داده شوند .

در فصل ۸خواهيم ديد که معادله هاي ديفرانسيل مر تبه ي دومي که در فيزيک مطرح مي شوند مي توان به کمک سري تواني حل کرد.

اگر به جاي x متغير مختلط z را قرار….

براي راحتي ميتوان نمايش قطبي معادله (۶-۱ )يا نمايش د کارتي[ معادله هاي ۶-۱و۶-۴ ]را براي متغير مختلط برگزيد.جمع و تفريق متغييرهاي مختلط در نمايش دکارتي آسانترصورت ميگيرد معادله ۶-٢.ضرب ، تقسيم، به توان رساندن  ويافتن ريشه در مختصات قطبي راحت تر انجام ميشود معادله هاي ( ۶-۸ و ۶-۱۰).

اجازه دهيد ميانگين هندسي تابعهاي چند ظرفتي بوسيله ي ثابت مختلط امتحان کنيم .

مثال   ۶-۱-۳    ضرب اعداد مختلط

وقتي متغير مختلط  zرا در   ضرب ميکنيم ،براي مثال، ۹۰ درجه پاد ساعتگرد به    چرخانده ميشود.وقتي      را در     ضرب ميکنيم   را بدست مي آوريم که  zبوسيله آرگومان   چر خانده ميشود .همچنين منحني هاي معيين شده با  ثابت هنگامي که يک تابع مختلط را در آن ضرب کنيم چرخانده مي شو د . هنگامي که قرار دهيم :

ثابت

دو هذلولي زير را معيين مي کنيم

از ضرب کردن c در عدد مختلط      ،بدست مياوريم:

هذلولي ها بوسيله ي قدر مطلق  Aمقيا س گذاري و بوسيله ي آرگومان  چرخيده ميشوند.

مي توان به طور تحليلي يا نموداري ،با استفاده از شباهت با بردارها ،نشان داد (مسا له ۶.۱.۲)که مدول مجموع دو عدد مختلط از مجموع….

مشتقها

با استفاده از فرمول انتگرال کوشي  مي توان عبارتي براي مشتق  به دست آورد و از معادله ي

(۶ -۴۷) براي تابع تحليلي  داريم

در اين صورت با استفاده از تعريف مشتق معادله( ۶-۲۲ )داريم ،

(6.50)

اين نتيجه را مي شد به کمک مشتق گيري نسبت به₀z  از انتگرالده در معادله ي( ۶-۴۷ )به دست آورداين رهيافت صوري ،نزديک به صحيح است ،اما تحقيق درستي آن بايد به کمک تحليل بالا انجام شود . انتگرالده  در ₀z=z  تکينه است اگر ،و اين تکينه براي مرتبه دوم قطب تعريف شده باشد .

اين روش مشتق گيري راميتوان تکرار کرد .معادته ي( ۶-۵۰)را براي   و                  مينويسيم .تفاضل اين دو تابع را بر تقسيم ،و سر انجام  حد را محاسبه مي کنيم :

دقت کنيد که  چنانکه بايد ؛از جهت مستقل است . اگر  ،نتيجه مي گيريم که   يک تکينه دارد،که براي مرتبه سوم قطب تعريف شده است . با ادامه ي اين روند ،مي رسيم به[1]

(6.51)

يعني ،شرط تحليلي  بودن        وجود نه تنها مشتق اول بلکه مشتق  از همه ي مرتبه ها را ضمانت مي کند . دقت کنيد که انتگرالده قطبي از مرتبه ي  n+1   در ₀z=z  اگر   باشد دارد. مشتقهايبه خودي خود تحليلي اند . دقت کنيد که در اين گذاره ،قضيه ي انتگرال کوشي به روايت گورسا مد نظر است .(فرض کنيد وجود داشته باشد اما نيازي نيست که پيوسته باشد